MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN
Importancia de es de estas medidas
Las medidas de
tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para
interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
Al describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay
varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se
les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más
alta de datos se encuentra en los valores intermedios.
Los objetivos de las
medidas de tendencia central son:
Mostrar en qué lugar se ubica un dato promedio o típico del grupo de datos.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier posición en relación
con las posiciones centrales o típicas.
Sirve como un método para comparar la posición obtenida por un mismo parámetro
en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o
más grupos
Cuando se hace
referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la
distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se
habla de estas medidas como medidas de posición.
Es la medida de
posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular,
debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo
algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en
su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado
grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores
observados, dividido por el número total de observaciones.
Media Aritmética
Es un promedio
razonable estable. No afecta hondamente por algunos valores moderadamente pequeños
o moderadamente grande y esta estabilidad aumenta con la frecuencia total N.
Ejemplo
niño nota
1
6,0 ·Primero, se suman las
notas:
2
5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 =
27,6
3
3,1 ·Luego el total se divide
entre la cantidad de alumnos:
4
7,0 27,6/5=5,52
5
6,1
La media aritmética
en este ejemplo es 5,52
Mediana
Es
el valor que ocupa el lugar central de todos
los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me. La mediana se
puede hallar sólo para variables cuantitativas
Cálculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor
a mayor.
2. Si la serie
tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5,
6, 6Me = 5
3. Si la serie
tiene un número par de puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me
= 9.5
Moda
La moda es
el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa
por Mo.
Se puede hallar
la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de
la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5,
5 Mo = 4
Si en un grupo
hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la
distribución es bimodal o multimodal, es decir,
tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5,
5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas
las puntuaciones de un grupo tienen la misma
frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9,
9
Si dos puntuaciones
adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7,
8Mo = 4
Propiedades y
ventajas de estas medidas (procedimiento para calcular e interpretación para
datos simples y agrupados).
Media Aritmética
Propiedades
Es un buen indicador
para calcular costos medios de producción.
Puede usarse para promediar números índices.
Puede usarse para promediar tasas de cambio.
La Media Aritmética
para Datos Simples
X = X1/n (no están agrupados)
Ejemplo: Sea la serie X=1,4,5,7,8,10
X =35/6=5.83
La Media Aritmética para Datos Agrupados
Existen tres métodos
para calcular la media aritmética en una serie de datos agrupados que son:
El método largo: X=Fi*Xi
n
Clases
|
Fi
|
Xi
|
FiXi
|
8 a menos de 11
|
10
|
9.5
|
95.0
|
11 a menos de 14
|
8
|
12.5
|
100.0
|
14 a menos de 17
|
11
|
15.5
|
170.5
|
|
|
|
|
17 a menos de 20
|
9
|
18.5
|
166.5
|
20 a menos de 23
|
10
|
21.5
|
215.0
|
23 a menos de 26
|
4
|
24.5
|
98.0
|
26 a menos de 29
|
1
|
27.5
|
27.5
|
29 a menos de 32
|
7
|
30.5
|
213.5
|
Total
|
N=60
|
|
1086
|
|
|
|
|
|
X= 1086=18.10
60
La interpretación de
este cálculo es que estos estudiantes promedian una edad en conjunto de 18 años
y 1 mes.
El método Abreviado en Unidades Originales
X = Ms + (d´fi/n)
Este método parte de
la propiedad que dice que las desviaciones con relación a la media son iguales
a cero. Lo primero que debe hacerse es elegir una medida supuesta (Ms), que no
sea la media aritmética. Esto es un punto cualquiera de los puntos medios o marcas
de clases. Como ejemplo, se elige como MS el punto.
Las desviaciones con
relación a la media supuesta, las obtendrá restando cada punto medio o marca de
clases menos la media supuesta. Esto es, 9.5-21.5=-12.
Edades de una población de 60 personas
Clases
|
Fi
|
Xi
|
FiXi
|
d´=(Xi-Ms)
|
d´fi
|
8 a menos de 11
|
10
|
9.5
|
95.0
|
-12
|
-120
|
11 a menos de 14
|
8
|
12.5
|
100.0
|
19
|
-72
|
14 a menos de 17
|
11
|
12.5
|
170.5
|
16
|
-66
|
17 a menos de 20
|
9
|
18.5
|
166.5
|
13
|
-27
|
20 a menos de 23
|
10
|
21.5
|
215.0
|
0
|
0
|
23 a menos de 26
|
4
|
24.5
|
98.0
|
3
|
+12
|
26 a menos de 29
|
1
|
27.5
|
27.5
|
6
|
+6
|
29 a menos de 32
|
7
|
30.5
|
213.5
|
9
|
+63
|
Total
|
N=60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-285
-204
+81
X=21.5+(-204/60)=21.5+(-3.4)=18.10
Método Abreviado por Intervalos de Clases
Este método se parece
bastante al anterior, diferenciándose en que aquí se hace uso del intervalo de
la distribución. Cuando la distribución esta formada, el intervalo de la misma
se obtiene restando dos límites superiores sucesivos o dos límites inferiores
sucesivos.
Ejemplo:
a) 23-20=3
b) 11-8= 3
X= Ms+(d´fi/n)i
Clases
|
Fi
|
Xi
|
D´
|
d´fi
|
8
- 11
|
10
|
9.5
|
-1
|
-10
|
11-
14
|
8
|
12.5
|
0
|
+0
|
14
- 17
|
11
|
12.5
|
+1
|
+11
|
17
- 20
|
9
|
18.5
|
+2
|
+18
|
20
- 23
|
10
|
21.5
|
+3
|
+30
|
23
- 26
|
4
|
24.5
|
+4
|
+16
|
26
- 29
|
1
|
27.5
|
+5
|
+5
|
29
- 32
|
7
|
30.5
|
+6
|
+42
|
Total
|
N=60
|
|
|
|
Tenemos por ejemplo
el punto medio 12.5, o sea (Ms9. Las desviaciones se obtendrán contando
positivamente por debajo de la media supuesta y negativamente por encima. Luego
multiplica las desviaciones por las frecuencias de clases, luego divide por el
total de frecuencias (60) y lo que le dé lo multiplica por el intervalo de
clases (3). Luego el resultado de este factor de corrección lo suma a la media
supuesta elegida anteriormente, o sea, 12.5.
X =12.5+ (112/60)3
X =12.5+5.6 = 18.10
Propiedades
Es influida o
afectada por el número de valores que tenga la serie de datos.
Su cálculo no tiene
sentido para datos cualitativos.
Se usa mucho su
cálculo en distribuciones de frecuencias donde hallan clases abiertas.
Las desviaciones
absolutas que s realizan con ella son iguales a un mínimo.
Es afectada por la
posición de los valores en la serie de datos.
Cálculo de la Mediana para Datos Simples
Me=Mediana
Se presentan dos casos:
Que la serie de datos
sea par.
Ejemplo:
X=1,2,3,4,5,6,7,8.
Me= a la semisuma de los valores que dividen la serie en partes iguales o sea,
Me= 4+5=9=4.5
2
Que la serie de datos
sea impar.
Ejemplo: X=1,2,3,4,5.
Aquí la mediana se localiza de forma directa
o sea, Me=3, es decir, el valor que divide la serie en dos partes iguales.
Cálculo de la Mediana para Datos Agrupados
Fórmula
Me = Li + [(n/2 – Fa-i)/Fi]
Me =Mediana
Li =Límite inferior de la clase mediana
n/2 = Punto que sirve para localizar la clase mediana.
Fa – 1= Total de Frecuencias acumuladas antes de la clase mediana.
Fi= Frecuencia simple de la clase mediana
I= Intervalo de clase de la distribución.
Calculemos la mediana con estos datos: n/2=
30/2=15. Este punto o valor se ubica en la columna de frecuencias acumuladas.
En algunos casos este punto es igual a un valor acumulado, en otro caso, usted
elegirá el valor acumulado que excede al punto n/2. Como se puede observar de
acuerdo al punto n/2=15 la clase mediana será (8-10), tomará de esta clase los
datos que le interesan para completar la fórmula.
Clases
|
Fi
|
Fa
|
2-4
|
2
|
2
|
4-6
|
3
|
2
|
6-8
|
5
|
10
|
8-10
|
8
|
18
|
10-12
|
6
|
24
|
12-14
|
4
|
28
|
14-16
|
2
|
30
|
Total
|
N=30
|
|
Me= 8 + [(30/2 –
10)/8]2
Me= 8 + [(15-10)/8]2
Me= 8 + (5/8)2
Me= 8 + (0.625) 2
Me= 8+ 1.25 = 9.25
Moda
Propiedades
En una serie de datos
monomodal no agrupados, la moda será siempre un valor de la serie
En una serie discreta
cualquier valor puede ser moda excepto que el número de apariciones no excede a
otro valor adyacente.
Es un valor hasta
cierto punto inestable, pues cambia radicalmente si no se modifica el método de
redondeo de datos.
La Moda para Datos Simples
Mo = Moda
Ejemplo: X = 2, 3, 4, 5, 5, 6,7. (Pesos en libras de un grupo de niños que
acaba de nacer). La moda es el 5, ya que es el valor que más se repite.
La Moda para Datos Agrupados
Mo=Li+[Δ1/Δ1+Δ2]i
Li= Límite inferior de clase.
Δ1= Frecuencia simple premodal menos la frecuencia modal (no se toma en cuenta
el signo).
Δ2= Frecuencia simple de la clase modal menos la frecuencia simple posmodal.
i= Intervalo de clase.
Clases
|
Fi
|
70-75
|
8
|
75-80
|
12
|
80-85
|
15
|
85-90
|
18
|
90-95
|
10
|
95-100
|
6
|
100-105
|
6
|
Total
|
N=75
|
La clase modal se
obtiene escogiendo aquella que tenga la frecuencia simple más alta.
Δ1=15-18, o sea, la frecuencia premodal menos la modal (sin tomar en cuenta los
signos).
Δ2=(-3), o sea, 3.
Δ2=18-10, o sea, la frecuencia modal menos la posmodal, es decir, 18-10=8.
Mo= 85+ [(3)/ (3+8)]5
= 85+ (3/10)5= 86.36
Imaginando que estos
datos muestran lo que gana cada uno de esos muchachos que están en los
semáforos diariamente, se determina que ganan diariamente una cantidad que
fluctúa entre los 85-90 pesos.
Relación empírica
entre la media, la moda y la mediana.
86.57 -
80.25 " 3 (86.57 - 84.71)
6.32 " 5.58
La media armónica y la
media geométrica (procedimiento para calculo e interpretación de datos simples
y agrupados).
La media armónica
La media armónica es
el recíproco de la suma de los recíprocos de todos los datos, multiplicado por
el número de datos. Media armónica se
utiliza para calcular el promedio de un conjunto de números. Aquí el número de
elementos se calculará el promedio y se divide por la suma de los recíprocos de
los elementos. La media armónica es siempre la media más baja.
Cálculo de la Media Armónica para Datos No Agrupados
A= Media Armónica
A=
N
= A= N
1 + 1 +
1+……1
n
x1 x2
x3
xn
1
xi
i= 1
Ejemplo: X=1,2,3,4,5,6,
A=
6 Busque un
común denominador, en este caso es 60.
1+1+1+1+1+1
1 2 3 4 5 6
A=
6 =
6 = 360 = 2.45
60+30+20+15+12+10
147 147
60
Cálculo de la Media Armónica para Datos
Agrupados
A=
N
f1(1/x1) + (1/x2) + f3(1/x3) + ….fn(1/xn)
La diferencia con relación a la fórmula
anterior es que está multiplicando los recíprocos por las frecuencias simples
de clases.
Ejemplo: Muestra de 12 niños que practican
artes marciales
Clases
|
fi
|
xi
|
fi 1/x
|
fi 1/x1
|
fi.1/x1
|
2 – 5
|
1
|
3.5
|
(1) (1/3.5)
|
1/3.5
|
0.28
|
5 – 8
|
2
|
6.5
|
(2) (1/6.5)
|
2/6.5
|
0.31
|
8 – 11
|
4
|
9.5
|
(4) (1/9.5)
|
4/9.5
|
0.42
|
11 – 4
|
3
|
12.5
|
(3) (1/2.5)
|
3/12.5
|
0.24
|
14 – 17
|
2
|
15.5
|
(2) (1/15.5)
|
2/15.5
|
0.13
|
Total
|
N=12
|
|
|
|
1.38
|
Fuente: Datos que
provienen de la escuela B.
A= 12/1.38 = 8.69
La media geométrica
La media geométrica, es la raíz enésima del
producto de todos los datos.
La Media Geométrica Para Datos Simples
ğ = √(X1)(X2)(X3)…(Xn)
Ejemplo:
X= 1,2,3,4,5
ğ = (1)(2)(3)(4)(5)= √120
La Media Geométrica para Datos Agrupados
ğ =Ant. Log – fi*LogXi
n
Clases
|
fi
|
xi
|
Log.x1
|
Fi.Log x1
|
8 a menos 11
|
10
|
9.5
|
0.9777
|
9.7770
|
11 a menos 14
|
8
|
12.5
|
1.0969
|
8.7752
|
14 a menos 17
|
11
|
15.5
|
1.1903
|
13.0933
|
17 a menos 20
|
9
|
18.5
|
1.2672
|
11.4048
|
20 a menos 23
|
10
|
21.5
|
1.3324
|
13.3240
|
23 a menos 27
|
4
|
24.5
|
1.3892
|
5.5568
|
27 a menos 30
|
1
|
27.5
|
1.4393
|
1.4393
|
30 a menos 32
|
7
|
30.5
|
1.4843
|
10.3901
|
Total
|
N=60
|
|
|
73.7605
|
Este resultado se
interpreta como que, los estudiantes promedian en edad 16 años y 11 meses. Se
puede notar que este promedio es menos que el de la media aritmética y esto se
debe en gran parte al redondeo de los datos.
Medidas de posición.
Las medidas de
posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de
individuos.
Para calcular
las medidas de posición es necesario que los datos estén
ordenados de menor a mayor.
Importancia de las medidas
En la medición
se seleccionan características básicas de un objeto o fenómeno y se compara una
cantidad con su respectiva unidad es importante que sea PRECISA porque hace
posible una transmisión clara y objetiva de información necesaria para el
desarrollo de la ciencia.
Medir es
seguridad: Al transcurrir el tiempo, las sucesivas mediciones suministran
una valiosa información permitiendo desarrollar proyectos más acertados,
mejorar costes y satisfacer mejor las necesidades .
Medir es
eficiencia: Las mediciones acertadas y en el momento oportuno evitan
costes innecesarios y conducen hacia direcciones más correctas en el desarrollo
de las tareas facilitando la toma de decisiones, tanto en el proyecto como
durante de los procesos involucrados. No nos gustaría ver si la
campaña nos está proporcionando resultados esperados antes de
gastarnos todo el presupuesto?
Medir es
desarrollo: No es muy desacertado pensar que el desarrollo de la humanidad
está en cierta forma relacionado con los avances en materia de
mediciones.
Definición
Deciles
Los deciles son
los nueve valores que dividen la serie
de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los
valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D5 coincide
con la mediana.
Cuartiles
Los cuartiles son
los tres valores de la variable que dividen a
un conjunto de datos ordenados en cuatro partes
iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%,
al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana.
Percentiles
Los percentiles son
los 99 valores que dividen la serie
de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan
los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide
con la mediana. P50 coincide con D5.
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